小学三年级奥数专题（十七）数阵图(2)

　　上一讲我们讲了仅有一个“重叠数”的辐射型数阵图的填数问题，这一讲我们讲有多个“重叠数”的封闭型数阵图。

　　例1 将1～8这八个数分别填入右图的○中，使两个大圆上的五个数之和都等于21。

　　分析与解：中间两个数是重叠数，重叠次数都是1次，所以两个重叠数之和为

　　21×2-(1+2+…+8)=6。

　　在已知的八个数中，两个数之和为6的只有1与5，2与4。每个大圆上另外三个数之和为21-6=15。

　　如果两个重叠数为1与5，那么剩下的六个数2，3，4，6，7，8平分为两组，每组三数之和为15的只有

　　2+6+7=15和3+4+8=15，

　　故有左下图的填法。

　　如果两个重叠数为2与4，那么同理可得上页右下图的填法。

　　例2 将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○内，使得三角形每条边上的三个数之和都等于11。

　　分析与解：本题有三个重叠数，即三角形三个顶点○内的数都是重叠数，并且各重叠一次。所以三个重叠数之和等于

　　11×3-(1+2+…+6)=12。

　　1～6中三个数之和等于12的有1，5，6；2，4，6；3，4，5。

　　如果三个重叠数是1，5，6，那么根据每条边上的三个数之和等于11，可得左下图的填法。容易发现，所填数不是1～6，不合题意。

　　同理，三个重叠数也不能是3，4，5。

　　经试验，当重叠数是2，4，6时，可以得到符合题意的填法(见右上图)。

　　例3 将1～6这六个自然数分别填入右图的六个○中，使得三角形每条边上的三个数之和都相等。

　　分析与解：与例2不同的是不知道每边的三数之和等于几。因为三个重叠数都重叠了一次，由(1+2+…+6)+重叠数之和=每边三数之和×3，得到每边的三数之和等于

　[(1+2+…+6)+重叠数之和]÷3

　　=(21+重叠数之和)÷3

　　=7+重叠数之和÷3。

　　因为每边的三数之和是整数，所以重叠数之和应是3的倍数。考虑到重叠数是1～6中的数，所以三个重叠数之和只能是6，9，12或15，对应的每条边上的三数之和就是9，10，11或12。

　　与例2的方法类似，可得下图的四种填法：

　　每边三数之和=9 每边三数之和=10 每边三数之和=11 每边三数之和=12

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